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第1章 绪论1

1.1 数值分析研究的对象与特点1

1.2 误差来源与误差分析的重要性2

1.3 误差的基本概念4

1.3.1 误差与误差限4

1.3.2 相对误差与相对误差限5

1.3.3 有效数字5

1.3.4 数值运算的误差估计7

1.4 数值运算中误差分析的方法与原则8

1.4.1 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法9

1.4.2 要避免两相近数相减10

1.4.3 要防止大数“吃掉”小数10

1.4.4 注意简化计算步骤，减少运算次数11

小结11

习题12

第2章 插值法13

2.1 引言13

2.2 Lagrange插值14

2.2.1 插值多项式的存在唯一性14

2.2.2 线性插值与抛物插值15

2.2.3 Lagrange插值多项式17

2.2.4 插值余项18

2.3 逐次线性插值法20

2.4 差商与Newton插值公式22

2.4.1 差商及其性质22

2.4.2 Newton插值公式23

2.5 差分与等距节点插值公式25

2.5.1 差分及其性质25

2.5.2 等距节点插值公式26

2.6 Hermite插值28

2.7 分段低次插值31

2.7.1 多项式插值的问题31

2.7.2 分段线性插值32

2.7.3 分段三次Hermite插值33

2.8 三次样条插值35

2.8.1 三次样条函数35

2.8.2 三转角方程36

2.8.3 三弯矩方程38

2.8.4 计算步骤与例题39

2.8.5 三次样条插值的收敛性40

小结41

习题42

第3章 函数逼近与计算44

3.1 引言与预备知识44

3.1.1 问题的提出44

3.1.2 Weierstrass定理45

3.1.3 连续函数空间C［a,b］46

3.2 最佳一致逼近多项式46

3.2.1 最佳一致逼近多项式的存在性46

3.2.2 Chebyshev定理47

3.2.3 最佳一次逼近多项式49

3.3 最佳平方逼近51

3.3.1 内积空间51

3.3.2 函数的最佳平方逼近53

3.4 正交多项式55

3.4.1 正交化手续55

3.4.2 Legendre多项式56

3.4.3 Chebyshev多项式59

3.4.4 其他常用的正交多项式61

3.5 函数按正交多项式展开62

3.6 曲线拟合的最小二乘法64

3.6.1 一般的最小二乘逼近64

3.6.2 用正交函数作最小二乘拟合68

3.6.3 多元最小二乘拟合70

3.7 Fourier逼近与快速Fourier变换70

3.7.1 最佳平方三角逼近与三角插值70

3.7.2 快速Fourier变换72

小结76

习题76

第4章 数值积分与数值微分79

4.1 引言79

4.1.1 数值求积的基本思想79

4.1.2 代数精度的概念80

4.1.3 插值型的求积公式80

4.2 Newton-Cotes公式81

4.2.1 Cotes系数81

4.2.2 偶阶求积公式的代数精度83

4.2.3 几种低阶求积公式的余项83

4.2.4 复化求积法及其收敛性84

4.3 Romberg算法86

4.3.1 梯形法的递推化86

4.3.2 Romberg公式88

4.3.3 Richardson外推加速法89

4.3.4 梯形法的余项展开式91

4.4 Gauss公式92

4.4.1 Gauss点93

4.4.2 Gauss-Legendre公式94

4.4.3 Gauss公式的余项95

4.4.4 Gauss公式的稳定性95

4.4.5 带权的Gauss公式96

4.5 数值微分97

4.5.1 中点方法97

4.5.2 插值型的求导公式99

4.5.3 实用的五点公式101

4.5.4 样条求导102

小结102

习题103

第5章 常微分方程数值解法105

5.1 引言105

5.2 Euler方法105

5.2.1 Euler格式105

5.2.2 后退的Euler格式107

5.2.3 梯形格式108

5.2.4 改进的Euler格式109

5.2.5 Euler两步格式110

5.3 Runge-Kutta方法112

5.3.1 Taylor级数法112

5.3.2 Runge-Kutta方法的基本思想113

5.3.3 二阶Runge-Kutta方法114

5.3.4 三阶Runge-Kutta方法115

5.3.5 四阶Runge-Kutta方法117

5.3.6 变步长的Runge-Kutta方法118

5.4 单步法的收敛性和稳定性119

5.4.1 单步法的收敛性119

5.4.2 单步法的稳定性121

5.5 线性多步法123

5.5.1 基于数值积分的构造方法123

5.5.2 Adams显式格式124

5.5.3 Adams隐式格式125

5.5.4 Adams预测-校正系统126

5.5.5 基于Faylor展开的构造方法127

5.5.6 Milne格式129

5.5.7 Hamming格式130

5.6 方程组与高阶方程的情形131

5.6.1 一阶方程组131

5.6.2 化高阶方程组为一阶方程组132

5.7 边值问题的数值解法133

5.7.1 试射法134

5.7.2 差分方程的建立134

5.7.3 差分问题的可解性136

5.7.4 差分方法的收敛性137

小结138

习题139

第6章 方程求根141

6.1 根的搜索141

6.1.1 逐步搜索法141

6.1.2 二分法141

6.2 迭代法143

6.2.1 迭代过程的收敛性143

6.2.2 迭代公式的加工146

6.3 Newton法148

6.3.1 Newton公式148

6.3.2 Newton法的几何解释149

6.3.3 Newton法的局部收敛性150

6.3.4 Newton法应用举例151

6.3.5 Newton下山法152

6.4 弦截法与抛物线法153

6.4.1 弦截法153

6.4.2 抛物线法156

6.5 代数方程求根157

6.5.1 多项式求值的秦九韶算法157

6.5.2 代数方程的Newton法158

6.5.3 劈因子法159

小结161

习题161

第7章 解线性方程组的直接方法163

7.1 引言163

7.2 Gauss消去法163

7.2.1 消元手续164

7.2.2 矩阵的三角分解167

7.2.3 计算量169

7.3 Gauss主元素消去法170

7.3.1 完全主元素消去法171

7.3.2 列主元素消去法172

7.3.3 Gauss-Jordan消去法174

7.4 Gauss消去法的变形177

7.4.1 直接三角分解法177

7.4.2 平方根法180

7.4.3 追赶法183

7.5 向量和矩阵的范数185

7.6 误差分析191

7.6.1 矩阵的条件数191

7.6.2 舍入误差196

小结197

习题197

第8章 解线性方程组的迭代法201

8.1 引言201

8.2 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法203

8.2.1 Jacobi迭代法203

8.2.2 Gauss-Seidel迭代法204

8.3 迭代法的收敛性205

8.4 解线性方程组的超松弛迭代法212

小结216

习题216

第9章 矩阵的特征值与特征向量计算219

9.1 引言219

9.2 幂法及反幂法221

9.2.1 幂法221

9.2.2 加速方法224

9.2.3 反幂法226

9.3 Householder方法229

9.3.1 引言229

9.3.2 用正交相似变换约化矩阵231

9.4 QR算法236

9.4.1 引言236

9.4.2 QR算法238

9.4.3 带原点位移的QR方法241

小结245

习题245

部分习题答案247

参考文献250