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第一章 预备知识1

1 实数集1

1.1 集合1

1.2 集合的运算2

1.3 实数集3

1.4 区间与邻域4

1.5 实数的完备性与确界公理5

2 函数7

2.1 常量与变量7

2.2 映射与函数的概念7

2.3 数的几种特性11

2.4 反函数与复合函数15

2.5 初等函数17

3 常用逻辑符号简介22

3.1 蕴含与等价22

3.2 全称量词与存在量词22

第二章 极限与连续函数25

1 数列的极限25

1.1 整标函数与数列的概念25

1.2 数列的变化趋势与数列极限的概念26

1.3 收敛数列的性质30

1.4 数列极限的四则运算32

1.5 数列收敛的判别法34

2 函数的极限41

2.1 函数极限的概念41

2.2 函数极限的性质及运算法则46

2.3 数极限存在的判别法49

3 无穷小与无穷大54

3.1 无穷小及其性质54

3.2 无穷小的比较56

3.3 无穷大58

4 连续函数61

4.1 函数的增量62

4.2 函数的连续性63

4.3 函数的间断点及其分类65

5 连续函数的运算与初等函数的连续性69

5.1 连续函数的和、差、积、商的连续性69

5.2 反函数的连续性70

5.3 复合函数的连续性70

5.4 初等函数的连续性72

6 闭区间上连续函数的性质74

6.1 最大值和最小值定理与有界性定理74

6.2 介值定理75

6.3 函数的一致连续性77

第三章 导数与微分79

1 导数的概念79

1.1 引例79

1.2 导数的概念80

1.3 函数可导与连续的关系85

2 求导法则88

2.1 函数四则运算的求导法则88

2.2 反函数的求导法则92

2.3 复合函数的求导法则93

2.4 初等函数的导数97

3 高阶导数99

3.1 高阶导数的概念99

3.2 Leibniz公式104

4 隐函数及由参数方程所确定的函数的求导法则107

4.1 隐函数的求导法则107

4.2 对数求导法109

4.3 由参数方程所确定的函数的求导法则111

5 微分115

5.1 微分的概念115

5.2 微分的几何意义117

5.3 微分的运算法则118

5.4 高阶微分119

5.5 微分的应用120

第四章 微分中值定理与导数的应用124

1 微分中值定理124

1.1 Rolle定理124

1.2 Lagrange中值定理127

1.3 Cauchy中值定理133

2 L'Hospital法则138

2.1 未定式的概念138

2.2 未定式的定值法138

3 Taylor公式148

3.1 Taylor多项式148

3.2 Taylor公式149

3.3 Maclaurin公式153

3.4 Taylor公式的简单应用155

4 函数单调性的判别法158

5 函数的极值与最值162

5.1 函数的极值及其求法162

5.2 最大值和最小值问题166

6 函数的凸性与曲线的拐点171

6.1 凸函数的概念及其判别法172

6.2 曲线的拐点及其求法174

6.3 函数图形的描绘176

7 弧微分与平面曲线的曲率182

7.1 弧微分182

7.2 平面曲线的曲率185

7.3 曲率圆与曲率半径188

第五章 不定积分190

1 不定积分的概念与性质190

1.1 原函数与不定积分190

1.2 基本积分公式192

1.3 不定积分的性质193

2 不定积分的换元积分法196

2.1 第一换元法196

2.2 第二换元法201

3 不定积分的分部积分法206

4 几种典型函数的积分举例210

4.1 有理函数的积分210

4.2 三角函数有理式的积分215

4.3 无理函数应用举例217

第六章 定积分220

1 定积分的概念与性质220

1.1 定积分问题的引例220

1.2 定积分的概念222

1.3 定积分的几何意义224

1.4 定积分的性质224

2 微积分基本定理228

2.1 积分上限的函数及其导数228

2.2 Newton-Leibniz公式230

3 定积分的换元法和分部积分法234

3.1 定积分的换元积分法234

3.2 定积分的分部积分237

4 定积分的应用240

4.1 微元法240

4.2 平面图形的面积241

4.3 体积245

4.4 平面曲线的弧长248

4.5 定积分在物理上的应用251

5 反常积分255

5.1 无穷积分255

5.2 无界函数积分263

第七章 空间解析几何271

1 空间直角坐标系271

1.1 空间点的直角坐标271

1.2 空间两点间的距离272

2 向量及其运算274

2.1 向量的概念274

2.2 向量的加减法，向量与数的乘法274

2.3 量的坐标277

2.4 量的方向余弦279

2.5 量的乘积运算281

3 平面及其方程289

3.1 平面的方程289

3.2 两平面的夹角292

3.3 点到平面的距离294

4 空间直线及其方程295

4.1 空间直线的方程295

4.2 点、直线、平面之间的关系298

4.3 过直线的平面束方程301

5 曲面及其方程304

5.1 曲面方程304

5.2 柱面305

5.3 旋转曲面306

5.4 曲面的参数方程307

6 曲线及其方程309

6.1 曲线方程309

6.2 空间曲线在坐标面上的投影311

7 常见的二次曲面314

7.1 椭球面314

7.2 二次锥面315

7.3 双曲面317

7.4 抛物面319

习题参考答案323

参考文献359