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第一部分 高等数学3

第一章 函数、极限与连续3

1 知识要点精讲3

2 重要公式与结论17

3 典型题型与例题分析19

题型一 函数关系的建立19

题型二 考查函数的特性21

题型三 求函数极限22

题型四 求数列极限31

题型五 求解含参变量的极限36

题型六 已知极限，求待定参数、函数值、导数及函数37

题型七 无穷小比较39

题型八 判断函数的连续性与间断点的类型40

题型九 确定方程f(x)=0的根42

题型十 综合题43

习题精选一45

习题精选一参考答案47

第二章 导数与微分48

1 知识要点精讲48

2 重要公式与结论55

3 典型题型与例题分析56

题型一 利用导数定义解题56

题型二 求分段函数的导数60

题型三 导数在几何上的应用62

题型四 变限积分求导65

题型五 利用导数公式与运算法则求导68

题型六 综合题71

习题精选二73

习题精选二参考答案75

第三章 微分中值定理与导数的应用76

1 知识要点精讲76

2 典型题型与例题分析86

题型一 证明存在ξ，使f（ξ）＝086

题型二 证明存在ξ，使f（n）（ξ）＝0（n＝1,2,…）88

题型三 证明存在ξ，使G（ξ，f（ξ），f（ξ），…）＝090

题型四 直接用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明93

题型五 双介值问题，要证存在ξ，η使G（f′（ξ），f′（η），…）＝095

题型六 证明存在ξ，使得f（n）（ξ）＝k（k≠0）97

题型七 有关介值的不等式证明99

题型八 隐含介值问题100

题型九 不等式的证明102

题型十 利用导数证明函数恒等式113

题型十一 利用导数判别函数的单调性114

题型十二 利用导数研究函数的极值与最值115

题型十三 曲线的凹凸性与拐点116

题型十四 求曲线的渐近线117

题型十五 函数作图118

题型十六 求曲率与曲率半径120

题型十七 综合题121

习题精选三123

习题精选三参考答案125

第四章 一元函数积分学126

1 知识要点精讲126

2 重要公式与结论147

3 典型题型与例题分析148

题型一 计算不定积分148

题型二 不定积分综合题152

题型三 有关定积分的概念与性质的问题157

题型四 利用基本方法（牛顿-莱布尼茨公式，换元积分法，分部积分法）计算定积分159

题型五 对称区间上的积分163

题型六 涉及变限积分的问题164

题型七 定积分循环计算法168

题型八 几类特殊积分问题169

题型九 反常（广义）积分的计算172

题型十 定积分等式的证明176

题型十一 定积分不等式的证明178

题型十二 定积分的几何（物理）应用181

题型十三 综合题186

习题精选四192

习题精选四参考答案193

第五章 向量代数与空间解析几何195

1 知识要点精讲及主要公式与结论195

2 典型题型与例题分析201

题型一 与向量代数有关的计算问题201

题型二 求平面与直线方程201

题型三 讨论平面与直线的位置关系204

题型四 求对称点、投影点及投影曲线205

题型五 综合题206

习题精选五207

习题精选五参考答案207

第六章 多元函数微分学209

1 知识要点精讲及主要公式与结论209

2 典型题型与例题分析218

题型一 基本概念题218

题型二 求复合函数的偏导数或全微分220

题型三 求隐函数的偏导数或全微分222

题型四 已知偏导数，反求函数关系225

题型五 多元函数的极值和最值问题226

题型六 求多元函数的梯度或方向导数231

题型七 多元函数微分学的几何应用231

题型八 综合题233

习题精选六235

习题精选六参考答案236

第七章 重积分238

1 知识要点精讲238

2 重要公式与结论245

3 典型题型与例题分析246

题型一 考查二重积分的基本概念与性质246

题型二 二重积分的基本计算方法247

题型三 利用重积分的对称性简化计算249

题型四 交换积分次序251

题型五 分区域函数的二重积分252

题型六 反常（广义）二重积分254

题型七 直角坐标系下计算三重积分（适用于方形区域）255

题型八 利用“先二后一”法（适用于旋转体类型的区域）255

题型九 利用柱面坐标（适用于区域含柱形体的情形）256

题型十 利用球面坐标（适用于区域含球形的情形）256

题型十一 综合题257

习题精选七261

习题精选七参考答案262

第八章 曲线、曲面积分264

1 知识要点精讲264

2 重要公式与结论272

3 典型题型与例题分析273

题型一 对弧长的曲线积分的计算方法273

题型二 对坐标的曲线积分的计算方法274

题型三 对面积的曲面积分的计算方法279

题型四 对坐标的曲面积分的计算方法281

题型五 求曲面的面积285

题型六 求向量场的散度及旋度287

题型七 综合题287

习题精选八290

习题精选八参考答案292

第九章 无穷级数294

1 知识要点精讲294

2 重要公式与结论302

3 典型题型与例题分析303

题型一 判定常数项级数的收敛性303

题型二 求函数项级数的收敛域、幂级数的收敛半径和收敛区间306

题型三 求常数项级数的和及函数项级数的和函数307

题型四 幂级数的展开309

题型五 傅里叶级数的展开310

题型六 综合题312

习题精选九314

习题精选九参考答案316

第十章 常微分方程317

1 知识要点精讲317

2 基本方法327

3 典型题型与例题分析328

题型一 可化为一阶线性微分方程的求解及全微分方程求解328

题型二 可化为变量可分离微分方程的求解331

题型三 可降阶的高阶微分方程332

题型四 高阶线性微分方程和可化为二阶常系数线性微分方程的求解334

题型五 综合题与应用题337

习题精选十342

习题精选十参考答案344

第二部分 线性代数347

第一章 行列式347

1 知识要点精讲347

2 难点、疑点解析及重要公式与结论351

3 典型题型与例题分析354

题型一 利用行列式的性质与行（列）展开定理计算行列式354

题型二 按行（列）展开公式求代数余子式355

题型三 利用多项式分解因式计算行列式356

题型四 抽象行列式的计算或证明357

题型五 n阶行列式的计算359

题型六 利用特征值计算行列式364

题型七 综合题365

习题精选一368

习题精选一参考答案369

第二章 矩阵370

1 知识要点精讲370

2 难点、疑点解析及重要公式与结论379

3 典型题型与例题分析382

题型一 求数值型矩阵的逆矩阵382

题型二 A为抽象矩阵，讨论A的可逆性385

题型三 考查矩阵运算的特殊性386

题型四 解矩阵方程388

题型五 求方阵A的高次幂An391

题型六 利用伴随矩阵A*进行计算或证明392

题型七 有关初等矩阵的问题394

题型八 求矩阵的秩395

题型九 综合题399

习题精选二400

习题精选二参考答案402

第三章 向量404

1 知识要点精讲404

2 难点、疑点解析及重要公式与结论415

3 典型题型与例题分析417

题型一 判定向量组的线性相关性417

题型二 把一个向量用一组向量线性表示423

题型三 求向量组的秩429

题型四 有关矩阵秩的命题432

题型五 有关向量空间的基本概念题433

题型六 综合题434

习题精选三436

习题精选三参考答案438

第四章 线性方程组440

1 知识要点精讲440

2 难点、疑点解析及重要公式与结论445

3 典型题型与例题分析447

题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构）447

题型二 含有参数的线性方程组的求解449

题型三 抽象线性方程组求解457

题型四 讨论两个方程组的公共解459

题型五 讨论两个方程组解之间的关系463

题型六 已知方程组的解，反求系数矩阵或系数矩阵中的参数465

题型七 有关基础解系的讨论466

题型八 有关AB＝0的应用470

题型九 综合题471

习题精选四478

习题精选四参考答案480

第五章 特征值与特征向量482

1 知识要点精讲482

2 难点、疑点解析及重要公式与结论488

3 典型题型与例题分析490

题型一 数值型矩阵特征值、特征向量的计算490

题型二 计算抽象矩阵的特征值492

题型三 特征值、特征向量的逆问题496

题型四 矩形相似与对角化的讨论500

题型五 有关实对称矩阵的命题506

题型六 特征值、特征向量与相似矩阵的应用问题508

题型七 有关特征值、特征向量的证明问题513

题型八 综合题515

习题精选五520

习题精选五参考答案522

第六章 二次型525

1 知识要点精讲525

2 难点、疑点解析及重要公式与结论532

3 典型题型与例题分析533

题型一 基本概念题（二次型的矩阵、秩、正负惯性指数）533

题型二 化二次型为标准形534

题型三 有关正定二次型（正定矩阵）命题的证明540

题型四 综合题544

习题精选六548

习题精选六参考答案549

第三部分 概率论与数理统计第一章 随机事件与概率553

1 知识要点精讲553

2 补充注释与重要结论558

3 典型题型与例题分析561

题型一 事件的表示和运算561

题型二 有关概率基本性质的命题562

题型三 古典概型与几何概型的概率计算565

题型四 事件独立性的命题569

题型五 条件概率与积事件概率的计算571

题型六 全概率公式和贝叶斯公式概型575

题型七 伯努利试验578

题型八 综合题579

习题精选一582

习题精选一参考答案584

第二章 随机变量及其分布585

1 知识要点精讲585

2 补充注释与重要结论588

3 典型题型与例题分析591

题型一 有关随机变量与分布的基本概念题591

题型二 求随机变量的分布律与分布函数595

题型三 已知事件发生的概率，反求事件中的未知参数601

题型四 利用常见分布求相关事件的概率603

题型五 求随机变量函数的分布604

题型六 综合题609

习题精选二611

习题精选二参考答案613

第三章 多维随机变量及其分布615

1 知识要点精讲615

2 补充注释与重要结论620

3 典型题型与例题分析622

题型一 联合分布、边缘分布与条件分布的计算622

题型二 已知部分分布律或边缘分布，求联合分布律或相关参数630

题型三 利用已知分布求相关事件的概率631

题型四 随机变量函数的分布633

题型五 随机变量的独立性的讨论640

题型六 综合题641

习题精选三643

习题精选三参考答案645

第四章 随机变量的数字特征647

1 知识要点精讲647

2 补充注释与重要结论650

3 典型题型与例题分析651

题型一 期望和方差的计算651

题型二 随机变量函数的数学期望与方差655

题型三 有关协方差、相关系数、独立性与相关性的命题662

题型四 有关数字特征的应用题667

题型五 综合题670

习题精选四672

习题精选四参考答案674

第五章 大数定律和中心极限定理675

1 知识要点精讲675

2 典型题型与例题分析677

题型一 有关切比雪夫不等式的命题677

题型二 有关大数定律的命题679

题型三 有关中心极限定理的命题680

题型四 综合题684

习题精选五685

习题精选五参考答案686

第六章 数理统计的基本概念688

1 知识要点精讲688

2 补充注释与重要结论694

3 典型题型与例题分析695

题型一 求样本容量n，或与样本均值X和样本方差S2有关的概率695

题型二 求统计量的数字特征696

题型三 求统计量的分布699

习题精选六701

习题精选六参考答案702

第七章 参数估计703

1 知识要点精讲703

2 补充注释与重要结论706

3 典型题型与例题分析707

题型一 求矩法估计和最大似然估计707

题型二 估计量评选标准的讨论714

题型三 参数的区间估计718

题型四 综合题720

习题精选七721

习题精选七参考答案723

第八章 假设检验724

1 知识要点精讲724

2 补充注释与重要结论726

3 典型题型与例题分析726

题型一 正态总体未知参数的假设检验726

题型二 有关两类错误的命题727

习题精选八729

习题精选八参考答案730