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第一篇 高等数学1

第一章 函数·极限·连续1

第一节 函数1

第二节 极限2

一、极限的定义与性质3

二、利用极限的四则运算定理求极限4

三、利用等价无穷小代换定理求极限5

四、利用重要极限求极限7

五、利用两个准则求极限9

六、利用洛必达法则求极限12

七、利用导数定义求极限15

八、利用定积分定义求极限16

九、利用泰勒公式求极限17

第三节 无穷小比较18

第四节 连续23

一、连续性23

二、一元函数间断点的讨论26

第二章 一元函数微分学29

第一节 导数的定义29

一、导数的定义29

二、一元导函数的性质33

第二节 一元函数的求导运算36

一、一元函数求导的四则运算法则及复合函数求导法则37

二、变限函数的导数38

三、隐函数求导公式39

四、参数方程求导公式41

五、一元函数的高阶导数42

六、一元函数的微分43

第三节 平面曲线的切线与法线44

第四节 微分中值定理·泰勒定理49

一、微分中值定理49

二、泰勒定理及其应用56

第五节 函数的单调性·极值·最大、最小值59

一、有关一元函数的单调性59

二、利用单调性证明不等式61

三、一元函数求极值65

四、求最大、最小值68

五、最大、最小值在经济学中的应用69

一、曲线的凹凸性与拐点73

第六节 函数作图73

二、渐近线74

第七节 方程求根78

第三章 一元函数积分学81

第一节 不定积分81

一、不定积分的换元法81

二、不定积分的分部积分法84

三、有理分式函数的不定积分87

第二节 定积分88

一、定积分的性质88

二、求定积分表达式91

三、利用对称性计算定积分93

四、定积分的换元积分法94

五、定积分的分部积分法95

第三节 定积分应用98

一、求平面图形的面积98

二、求曲线的弧长102

三、求已知平行截面空间立体的体积103

四、求旋转体的体积103

五、求旋转体的表面积109

六、定积分的物理应用110

七、求平均值112

第四节 广义积分113

一、无穷限的广义积分113

二、无界函数的广义积分115

二、空间解析几何118

一、向量代数118

第四章 空间解析几何118

第五章 多元函数微分学121

第一节 偏导数的定义及计算121

一、多元函数求极限121

二、偏导数的定义122

三、偏导数的运算法则122

四、多元函数的二阶偏导数123

五、多元隐函数求导126

六、全微分128

第二节 空间曲线的切线、法平面及空间曲面的切平面、法线131

第三节 多元函数的极值·最大值、最小值133

一、多元函数的极值133

二、多元函数的最大值、最小值135

三、多元函数极值在经济学上的应用137

第四节 方向导数与梯度139

第六章 多元函数积分学142

第一节 重积分142

一、重积分的性质142

二、利用直角坐标计算二重积分144

三、利用极坐标计算二重积分147

四、三重积分的计算153

五、重积分的应用154

第二节 曲线积分156

一、对弧长的曲线积分156

二、对坐标的曲线积分157

三、曲线积分与路径无关的条件160

一、对面积的曲面积分163

第三节 曲面积分163

二、第二类曲面积分165

第七章 无穷级数169

第一节 常数项级数169

一、正项级数的敛散性169

二、正项级数求和172

三、任意项级数的敛散性173

第二节 幂级数178

一、求幂级数的收敛半径和收敛区间178

二、幂级数求和180

第三节 傅立叶级数186

一、傅立叶级数187

一、变量可分离方程189

第八章 常微分方程189

第一节 一阶微分方程189

二、齐次微分方程193

三、一阶线性微分方程195

四、伯努利方程200

五、全微分方程201

六、其他类型的一阶微分方程201

第二节 可降阶的高阶微分方程203

第三节 二阶常系数线性微分方程206

一、微分方程解的结构206

二、二阶常系数齐次线性微分方程207

三、二阶常系数非齐次线性微分方程208

四、高阶常系数线性微分方程211

五、欧拉方程212

第四节 差分方程213

第二篇 线性代数215

第一章 行列式215

第一节 数字型行列式215

第二节 抽象型行列式219

第二章 矩阵223

第一节 矩阵的各种运算223

一、运算规律223

二、矩阵的幂运算224

三、矩阵的初等变换225

四、有关A＊的计算227

一、数字型矩阵求逆229

第二节 矩阵的逆229

二、逆矩阵定义及抽象矩阵求逆231

三、求逆综合题231

四、解矩阵方程233

第三节 矩阵的秩236

一、数字型矩阵求秩237

二、抽象矩阵求秩237

三、伴随矩阵的秩239

第三章 向量241

第一节 向量的线性相关与线性无关241

一、向量的运算241

二、向量组的线性相关与线性无关242

第二节 向量的线性表示246

第三节 向量组的极大无关组与秩250

一、向量组的极大无关组251

二、向量组的秩252

三、向量组的等价254

第四节 向量空间255

第四章 线性方程组258

第一节 齐次线性方程组258

一、AX=0有非零解的条件258

二、AB=0259

三、齐次线性方程组的基础解系260

四、求齐次线性方程组的通解262

第二节 非齐次线性方程组266

一、非齐次线性方程组有解的条件267

二、非齐次线性方程组求惟一解269

三、非齐次线性方程组解的结构271

四、求非齐次线性方程组的通解273

第三节 方程组的同解与公共解279

一、有关齐次线性方程组的同解279

二、齐次线性方程组的公共解280

三、非齐次线性方程组的公共解282

第五章 矩阵的特征值与特征向量284

第一节 矩阵的特征值与特征向量284

一、求数值型矩阵的特征值284

二、求抽象矩阵的特征值285

三、有关特征向量的讨论286

四、求特征值、特征向量的综合题287

一、基本概念题291

第二节 矩阵的相似对角化291

二、综合计算题292

第三节 实对称矩阵的相似对角化299

第六章 二次型306

第一节 二次型化为标准形306

一、基本概念306

二、二次型化为标准形307

三、已知二次型化为标准形，反求参数308

第二节 正定二次型312

第三篇 概率论与数理统计316

第一章 随机事件及其概率316

第一节 随机事件与概率基本公式316

一、事件的表示及关系316

三、概率运算性质及基本公式317

二、古典概率317

四、全概率公式和贝叶斯公式318

第二节 事件的独立性320

第二章 随机变量及其概率分析324

第三章 多维随机变量及其概率分布330

第一节 多维离散型随机变量330

第二节 多维连续型随机变量334

第四章 随机变量的数字特征341

第一节 数学期望与方差341

一、有关重要分布的数字特征的题目341

二、利用公式及性质求数学期望与方差342

三、随机变量函数的数学期望与方差343

四、关于数学期望的应用题347

第二节 协方差与相关系数351

第五章 大数定律和中心极限定理360

一、切比雪夫不等式360

二、大数定律361

三、中心极限定理361

第六章 数理统计的基本概念363

一、判断抽样分布及确定参数363

二、求统计量的数字特征365

三、求样本容量366

第七章 参数估计368

一、点估计368

二、区间估计373

第八章 假设检验375