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第1章　行列式1

1.1　行列式的基本概念1

1.1.1　行列式的定义1

1.1.2　子行列式7

1.1.3　行列式的展开式9

1.2　行列式的性质13

1.2.1　行列式的转置13

1.2.2　行列式的基本性质14

1.2.3　范德蒙行列式19

1.3　行列式的展开和运算21

1.3.1　特殊行列式的展开式21

1.3.2　拉普拉斯展式24

1.3.3　乘法公式25

习题27

第2章　向量30

2.1　向量与n维向量空间30

2.1.1　向量的基本概念30

2.1.2　n维向量空间33

2.2　向量运算33

2.2.1　向量运算法则33

2.2.2　向量运算性质36

2.3　零向量、单位坐标向量和向量的长度37

2.3.1　零向量37

2.3.2　单位坐标向量37

2.3.3　向量的长度38

2.3.4　向量长度的性质40

2.4　向量的内积41

2.4.1　向量内积的定义41

2.4.2　向量内积的性质43

2.5　向量相关性44

2.5.1 向量相关性的定义44

2.5.2　相关向量系的性质47

2.5.3　向量系的秩49

2.5.4　向量系的基底50

2.5.5　空间的基底51

2.6　直交向量系53

2.6.1　向量的直交性53

2.6.2　直交向量系的定义53

2.6.3　向量的直交化54

习题57

第3章　矩阵60

3.1　矩阵及特殊矩阵60

3.1.1　矩阵的基本概念60

3.1.2　特殊矩阵62

3.2　矩阵运算66

3.2.1　矩阵相等66

3.2.2　矩阵相加减67

3.2.3　数乘矩阵68

3.2.4　矩阵的乘法70

3.2.5　矩阵的转置75

3.3　逆矩阵78

3.3.1　逆矩阵的基本概念78

3.3.2　乘积和转置矩阵的逆矩阵83

3.3.3　线性变换与逆变换84

3.4　矩阵的初等变换87

3.4.1　初等变换的基本概念87

3.4.2　初等变换求逆矩阵92

3.5　分块矩阵95

3.5.1　分块矩阵的定义95

3.5.2　分块矩阵的运算96

3.6　直交矩阵105

3.6.1　直交矩阵的定义105

3.6.2　直交矩阵的性质106

习题108

第4章　矩阵的秩与线性方程组112

4.1　矩阵的秩112

4.1.1　矩阵的子式112

4.1.2　秩的基本概念113

4.1.3　矩阵的行秩和列秩114

4.2　线性方程组115

4.2.1　线性方程组的定义115

4.2.2　线性方程组的相容性116

4.3　线性方程组的解119

4.3.1　齐次线性方程组的解119

4.3.2　非齐次线性方程组的解129

习题134

第5章　矩阵的特征值136

5.1　特征值的基本概念136

5.1.1　特征值问题136

5.1.2　特征多项式137

5.1.3　求矩阵的特征值和特征向量138

5.2　相似矩阵及其特征值142

5.2.1　相似矩阵的定义及性质142

5.2.2　相似矩阵的特征值142

5.2.3　实对称矩阵的特征值与特征向量143

5.3　实对称矩阵的对角化145

5.3.1　实矩阵的三角化145

5.3.2　实对称矩阵的对角化147

5.4　约当标准型151

5.4.1　约当块和约当型矩阵151

5.4.2　约当矩阵的特征值153

习题154

第6章　实二次型157

6.1　实二次型的定义157

6.2　矩阵的合同158

6.3　实二次型的简化159

6.3.1　实二次型的简化定理159

6.3.2　二次型的简化方法161

6.4　惯性定律165

6.4.1　规范标准型165

6.4.2　惯性定理166

6.5　矩阵的正定性171

6.5.1　正定性的定义171

6.5.2　正定矩阵的性质173

6.5.3　正定矩阵的判别175

6.6　矩阵的变换179

习题180

参考文献182